يهدف هذا الكتاب لتغطية المنهاج الذي تدرسه الجامعات العالمية في مقرر التحليل المركب في مستوى السنة الثالثة فقط لذلك. فقد جاءت سبعة فصول يتناول الفصل الأول تعريف الأعداد المركبة وخصائصها وخاصة فكرة جذور العدد المركب. أما الفصل الثاني فقد خصص للدوال التحليلية وخصائصها (وهي...

يهدف هذا الكتاب لتغطية المنهاج الذي تدرسه الجامعات العالمية في مقرر التحليل المركب في مستوى السنة الثالثة فقط لذلك. فقد جاءت سبعة فصول يتناول الفصل الأول تعريف الأعداد المركبة وخصائصها وخاصة فكرة جذور العدد المركب. أما الفصل الثاني فقد خصص للدوال التحليلية وخصائصها (وهي الدوال القابلة للاشتقاق) وخاصة معادلتي كوشي –ريمان وكذلك الدوال التوافقية وعلاقتها بالدوال التحليلية.
ولقد بحث خصائص بعض الدوال المشابهة للدوال الحقيقية الأولية (الأساسية) مثل الدالة الأسية والدالة اللوغاريتيمة والدوال المثلثية والزائدية وركز على خصائص هذه الدوال المركبة التي تختلف عن تلك لمثيلاتها الحقيقية. كل هذا عرض في الفصل الثالث.

أما الفصل الرابع فيبدأ بتعريف التكامل المركب ويتدرج في إيجاد الحلول من أبسط الأنواع حتى يصل إلى تكامل المسار على كانتور مغلق وبسيط ويناقش نظرية ريمان للتكامل ونتائجها.

إن متسلسلات القوى المركبة تلعب دوراً هاماً كذلك في الموضوع عامة وخاصة في تمثيل الدوال التحليلية. وركز على تمثيل الدوال بمتسلسلات تايلور وماكلورين وكذلك متسلسلات لورانت وتم نقاش أنواع الأصفار والأقطاب فكان ذلك مادة الفصل الخامس.

أما الفصل السادس فيتناول نظرية الباقي التي تمكن من إيجاد قيمة تكامل المسار على كانتور يحتوي بمنطقته الداخلية أكثر من قطب واحد. وكذلك ناقش كثيراً من التكاملات المعتلة والتكاملات المثلثية التي صعب (أو لا يمكن) إيجاد قيمتها بالطرق التقليدية المعروفة في التفاضل والتكامل وكيفية إيجاد قيم مثل هذه التكاملات كتطبيق على نظرية الباقي.

وأخيراً تناول فكرتي الاستمرار التحليلي والدالة المطابقة، في الفصل السابع وأفرد بندين من هذا الفصل لنوعين هامين من الدوال المطابقة الأول التحويل مزدوج الخطية والثاني تحويل شوراتز –كريستوفل. ثم عرض وصفأً للأفكار الفيزيائية مثل التوزيع الحراري والجهد الكهربائي والمغناطيسي وتدفق السوائل كتطبيقات للدوال التحليلية خاصة المطابقة وتحويل شوارتز-كريستوفل.